微分

微分的几个重要定理

定义1.2.1(极值点)

设在区间上有定义,若存在,使得在去心邻域中恒成立, 则称为的一个极大值点.称为对应的极大值. 同样的,我们可以定义极小值点,若在有定义的范围内,一个点的去心邻域内的函数值都大于等于该点的函数值, 则称该点为的一个极小值点,对应的值为极小值.

关于极值点的概念,有几个需要强调的地方:

定理1.2.1(Fermat引理) 若为的一个极值点,且在处可导,则.

[证明]

不妨设是的一个极大值点,由极值点的定义可得:, 则, , 因为在处可导,故.

又, , 故.
同理可证为极小值点的情况.

其中和分别为次多项式与次多项式，且。设

则

(待补充)

$令为的公分母，$ $ 2. ,令N为P的分母，a+bx^n=tN \ 3. +P ,令N为P的分母，ax^n+b=tN $ (待补充纯参数推导)

$例：$

例： $是否存在连续函数使得$ 例： $连续函数求证$

例： $证明：连续函数如果是单射函数，那么单调。反证法若不单调，不妨设有且$

$因为单射，所以$

$介值性：存在使得$ $矛盾！$ $同理，矛盾！$

$综上命题得证$

例：

$证明：无最小正周期的连续周期函数是常值的只要证，由于连续，存在使得由于无最小正周期，有的一个周期有所以即得证$

例： $证明：一致连续且证由一致连续定义：使得将作等距分划，记满足则$

例： $连续，则使得$

例： $上连续周期函数一致连续$ 例： $连续，则$ 推荐书目：《无穷分析引论》欧拉